Question

【題目】如圖，在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)若，，求菱形的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)96．

【解析】

（1）先證明△AEF≌△DEB，可得AF=DB=DC，進(jìn)而證明四邊形ADCF是平行四邊形，然后由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得AD=CD，即可證明四邊形ADCF是菱形；

（2）求出菱形ADCF的面積=直角三角形ABC的面積，然后解答即可．

（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵在△AEF和△DEB中，∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB，AE=DE，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF=DB=DC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD=CD=BC，

∴平行四邊形ADCF是菱形；

（2）解：設(shè)AF到CD的距離為h，

∵AF∥BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，

∴S菱形ADCF=CD·h=BC·h=S△ABC=AB·AC=×12×16=96.