Question

【題目】如圖，一條頂點坐標為的拋物線與y軸交于點C(0，5)．與x軸交于點A和點B(點B在點A右側)，有一寬度為1．長崖足夠的矩形(陰影部分)沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q(點P在點Q右側)，交直線AC于點M和點N(點M在點N右側)，交x軸于點E和點F(點E在點F右側)

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點M和點N都在線段AC上時，連接MF，如果，求點Q的坐標；

(3)在矩形平移的過程中，當以點P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），或

【解析】

（1）設拋物線為 y＝a(x＋1)2＋，把點（0，5）代入即可解決問題．

（2）作FD⊥AC于D，設AF＝m，則MF＝m，ME＝AE＝m＋1，列出方程求出m的值即可解決問題．

（3）設F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，)，P(t＋1，)．①當MN是對角線時，由QN＝PM，列出方程即可解決問題．②點 Q，P在直線 AC異側時，QN＝MP，解方程即可．

（1）根據題意，拋物線頂點為(1，)，

設拋物線為 y＝a(x＋1)2＋．

拋物線過點 C（0，5），代入得5=a(0＋1)2＋

解得a＝，

拋物線解析式為y＝ (x＋1)2＋＝．

（2）令y=0,即=0，

解得x1=-5,x2=3

∴A（5，0），B（3，0）．

如圖，作FD⊥AC于D，

∵OA＝5，OC＝5，

∴∠CAO＝45．

設AF＝m，則MF＝m，ME＝AE＝m＋1．

在△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，

∴(m)2＝(m＋1)2＋12，

解得m1＝2，m2＝（不符合題意，舍去）．

∴AF＝2，

∴點Q的橫坐標為3．

又點Q在拋物線 y＝ (x＋1)2＋上，

當x=-3時，y=4

∴Q（3，4），

（3）設直線 AC的解析式 y＝kx＋n，把A（5，0），C（0，5）代入得

解得：

∴直線 AC的解析式 y＝x＋5．

由已知，點 Q，N，F及點 P，M，E橫坐標分別相同．

設F（t，0），E（t＋1，0），N（t，t＋5），M（t＋1，t＋6），Q(t，)，P(t＋1，)．

在矩形平移過程中，以P，Q，N，M為頂點的平行四邊形有兩種情況：

①點Q，P在直線 AC同側時，QN＝PM．

∴()(t＋5)＝()(t＋6)，

解得：t＝3．

∴M（2，3）．

②點 Q，P在直線 AC異側時，QN＝MP．

∴()(t＋5)＝(t＋6)( )，

解得 t1＝3＋，t2＝3，

∴M(2＋，3＋)，或(2，3)．

∴符合條件的點M是（2，3），(2＋，3＋)，或(2，3)．