Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以（1，0）為圓心的⊙P與y軸相切于原點O，過點A（－1，0）的直線AB與⊙P相切于點B．

（1）求AB的長．

（2）求AB、OA與所圍成的陰影部分面積．

（3）求直線AB的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

1）連接PB，由于A、P的坐標已知，因此求出OA、AP的長度，根據直線AB與⊙P相切于點B，⊙P與y軸相切于原點O，利用勾股定理定理可以求出AB的長度；
（2）連接OB，利用（1）的結果可以得到∠OPB=60°，根據即可求出陰影部分面積；
（3）設直線AB與y軸相交于點C，根據已知條件可以得到∠BAP=30°，而OA=1，因此可以求出CO的長度，即求出了C的坐標，而A的坐標已知，再利用待定系數法即可求出AB的解析式；

解：（1）連接PB
∵點A、P的坐標分別為（-1，0）、（1，0），
∴OA=OP=1，
∴PA=2．
∵直線AB與⊙P相切于點B，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=90°
又∵⊙P與y軸相切于原點O，
∴PB=OP=1，
∴；

（2）連接OB
∵∠ABP=90°，OA=OP，
∴，
又∵PB=OP，
∴PB=OP=OB，
∴∠OPB=60°，
∴；

（3）如圖示，設直線AB與y軸相交于點C
∵∠OPB=60°，∠ABP=90°，
∴∠BAP=180°-60°-90°=30°，
∴在Rt△OAC中，，

設OC=x，則AC=2x，
依題意得（2x）2=x2+12，
解得

∵x＞0，
∴；
∴點C坐標為（0，），

可設直線AB的解析式為（k≠0），
∵直線AB過點A（-1，0），
∴，

∴，

∴直線AB的解析式為．