Question

【題目】如圖，二次函數的圖像與x軸交于A，B兩點（點B在點A左側），與y軸負半軸相交于點C，且tan∠ABC=3，

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設E是位于第四象限拋物線上的一個動點，過E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH，則在點E運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；

（3）設點P是x軸下方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，求△PAC面積的取值范圍，當△PAC面積為整數時，這樣的△PAC有幾個？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），這樣的有11個

【解析】

（1）拋物線解析式為，求出點A，B的坐標，根據求出點C的坐標，代入拋物線解析式求解即可；

（2）拋物線的對稱軸為直線，設，分兩種情況，當與當，根據列式求解；

（3）設，分兩種情況考慮，當時，由于S△ABC＝6，可求出△PAC面積的取值范圍，當時，作軸交于點，根據直線的解析式可得出點，根據列式求解，進而得解．

解：（1）拋物線解析式為，

，，

，

，

，

把代入得，

解得，，

所以二次函數解析式為，即；

（2）拋物線的對稱軸為直線，設，

當時，如圖1，，，

矩形為正方形，

，即，

整理得，，

解得，（舍去），（舍去）；

當時，如圖2，，，

矩形為正方形，

，即，

整理得，，

解得，（舍去），

此時正方形的邊長為；

綜上所述，正方形的邊長為；

（3）設，

當時，，

，

當時，作軸交于點，如圖3，易得直線的解析式為，則，

，

，

當時，的面積的最大值為，即，

綜上所述，，

面積為整數時，它的值為1、2、3、4、5，即有11個．