Question

【題目】如圖（1），點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s

（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，則當(dāng)t=__________s時(shí)，△PBQ是直角三角形．

（2）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

（3）如圖（2），若P，Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）不變，60°；（3）不變，120°

【解析】

（1）由題意得出AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況進(jìn)行求解；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，即可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ＝60°；

（3）通過(guò)證明△PBC≌△QCA得出，利用三角形的內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而求解．

解：（1）∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則AP＝BQ＝t，

∴PB＝4﹣t，

當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，

∴4﹣t＝2t，

解得，t＝，

當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2PB，

∴，

解得，t＝，

∴當(dāng)t為s或s 時(shí)，△PBQ為直角三角形；

故答案為：或；

（2）不變，，

正△ABC中，，，，

，

，

，

∴在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ不變，∠CMQ＝60°；

（3）不變，，

在正△ABC中，，，

，又由條件得，

∴△PBC≌△QCA（SAS），

，

又，

．

∴在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ的大小不變，∠CMQ＝120°．