Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為4，A、C兩點在⊙O上，點B在⊙O內，，AB⊥AC，若OB⊥OC，那么OB的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接OA，作AM⊥OB交OB的延長線于M，作CN⊥MA交MA的延長線于N，得出四邊形COMN是矩形，通過證明C、O、B、A四點共圓，得出∠AOB＝∠ACB，利用同角的正切函數值相等以及勾股定理求出AM，OM，AN的長，最后通過證明△AMB∽△CNA進行求解．

如圖，連接OA，作AM⊥OB交OB的延長線于M，作CN⊥MA交MA的延長線于N．則四邊形COMN是矩形．

∵∠COB＝∠CAB＝90°，

∴C、O、B、A四點共圓，

∴∠AOB＝∠ACB，

∴tan∠AOM＝tan∠ACB＝，

設AM＝4k，OM＝3k，

在Rt△OMA中，，

解得，（負根舍去），

∴，，AN＝MN﹣AM＝，

∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠CAN＝90°，

∴∠ABM＝∠CAN，

∵∠AMB＝∠CNA＝90°，

∴△AMB∽△CNA，

∴，

∴BM＝，

∴OB＝OM﹣BM＝．

故答案為：．