Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE，CF相交于點D.

(1)求證：BE＝CF；

(2)當α＝90°時，求四邊形AEDC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

（1）先利用旋轉的性質得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，則根據“SAS”證明△AEB≌△AFC，于是得到BE＝CF；
（2）先判斷△ABE為等腰直角三角形得到∠ABE＝45°，則AC∥BE，同理可得AE∥CF，于是可證明四邊形AEDC為菱形，AF與BE交于點H，如圖，通過證明△AHE為等腰直角三角形得到AH＝AE＝，然后根據菱形的面積公式計算．

（1）證明：∵將△ABC繞點A按順時針方向旋轉角α得到△AEF，

∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，

∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF＋∠FAB＝∠BAC＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAC.

在△AEB和△AFC中，

∴△AEB≌△AFC(SAS)，

∴BE＝CF．

（2）解：∵α＝90°，

∴∠EAB＝∠FAC＝90°.

∵AE＝AB，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴∠ABE＝45°，

∴∠ABE＝∠BAC，

∴AC∥BE，

同理可得AE∥CF.

∵AE＝AC，

∴四邊形AEDC為菱形．

設AF與BE交于點H.

∵∠EAF＝45°，

∴AH平分∠EAB，

∴AH⊥BE，

∴△AHE為等腰直角三角形，

∴AH＝AE·sin45°AE＝，

∴四邊形AEDC的面積為AH·DE＝×2＝2．