Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第一象限拋物線上的點，連接OP交直線AB于點Q．設點P的橫坐標為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的關系式，并求出PQ與OQ的比值的最大值；

（3）點D是拋物線對稱軸上的一動點，連接OD、CD，設△ODC外接圓的圓心為M，當sin∠ODC的值最大時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+3；（2）y=﹣m2+m，PQ與OQ的比值的最大值為；（3）點M的坐標為（﹣1，）或（﹣1，﹣）．

【解析】

（1）根據直線解析式求得點A、B的坐標，將兩點的坐標代入拋物線解析式求解可得；

（2）過點P作y軸的平行線交AB于點E，據此知△PEQ∽△OBQ，根據對應邊成比例得y=PE，由P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3）得PE=﹣m2+m，結合y=PE可得函數解析式，利用二次函數性質得其最大值；

（3）設CO的垂直平分線與CO交于點N，知點M在CO的垂直平分線上，連接OM、CM、DM，根據∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=，當MD取最小值時，sin∠ODC最大，據此進一步求解可得．

（1）在y=﹣x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，

∴點A（4，0）、B（0，3），

把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+3；

（2）如圖1，過點P作y軸的平行線交AB于點E，

則△PEQ∽△OBQ，

∴，

∵=y、OB=3，

∴y=PE，

∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），

則PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，

∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+，

∵0＜m＜3，

∴當m=2時，y最大值=，

∴PQ與OQ的比值的最大值為；

（3）如圖，由拋物線y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），對稱軸為直線x=1，

∵△ODC的外心為點M，

∴點M在CO的垂直平分線上，

設CO的垂直平分線與CO交于點N，連接OM、CM、DM，

則∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，

∴sin∠ODC=sin∠OMN=，

又MO=MD，

∴當MD取最小值時，sin∠ODC最大，

此時⊙M與直線x=1相切，MD=2，

MN==，

∴點M（﹣1，﹣），

根據對稱性，另一點（﹣1，）也符合題意；

綜上所述，點M的坐標為（﹣1，）或（﹣1，﹣）．