Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標；

（3）若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣，﹣）；（3）存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，P的坐標為（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．

【解析】

（1）把A，B，C的坐標代入拋物線解析式求出a，b，c的值即可；

（2）由題意得到直線BC與直線AM垂直，求出直線BC解析式，確定出直線AM中k的值，利用待定系數法求出直線AM解析式，聯立求出M坐標即可；

（3）存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規律確定出P的坐標即可．

（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入拋物線解析式得：，

解得：，

則該拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）設直線BC解析式為y=kx﹣3，

把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，

∴直線BC解析式為y=﹣3x﹣3，

∴直線AM解析式為y=x+m，

把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，

∴直線AM解析式為y=x﹣1，

聯立得：，

解得：，

則M（﹣，﹣）；

（3）存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，

分兩種情況考慮：

設Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），

當四邊形BCQP為平行四邊形時，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根據平移規律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，

解得：m=1±，x=2±，

當m=1+時，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即P（1+，3）；

當m=1﹣時，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即P（1﹣，3）；

當四邊形BCPQ為平行四邊形時，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根據平移規律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，

解得：m=0或2，

當m=0時，P（0，﹣3）（舍去）；當m=2時，P（2，﹣3），

綜上，存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，P的坐標為（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．