Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經過B點，已知A點坐標是（2，0），B點坐標是（8，6）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求函數圖象的頂點坐標及D點的坐標；

（3）二次函數的對稱軸上是否存在一點C，使得△CBD的周長最小？若C點存在，求出C點的坐標；若C點不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+6；（2）D點的坐標為（6，0）；（3）存在．當點C的坐標為（4，2）時，△CBD的周長最小

【解析】試題分析：（1）只需運用待定系數法就可求出二次函數的解析式；

（2）只需運用配方法就可求出拋物線的頂點坐標，只需令y=0就可求出點D的坐標；

（3）連接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周長最小，只需CD+CB最小，根據拋物線是軸對稱圖形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根據“兩點之間，線段最短”可得：當點A、C、B三點共線時，CA+CB最小，只需用待定系數法求出直線AB的解析式，就可得到點C的坐標．

試題解析：

（1）把A（2，0），B（8，6）代入，得

解得：

∴二次函數的解析式為；

（2）由，得

二次函數圖象的頂點坐標為（4，﹣2）．

令y=0，得，

解得：x1=2，x2=6，

∴D點的坐標為（6，0）；

（3）二次函數的對稱軸上存在一點C，使得的周長最小．

連接CA，如圖，

∵點C在二次函數的對稱軸x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴的周長=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根據“兩點之間，線段最短”，可得

當點A、C、B三點共線時，CA+CB最小，

此時，由于BD是定值，因此的周長最小．

設直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

解得：

∴直線AB的解析式為y=x﹣2．

當x=4時，y=4﹣2=2，

∴當二次函數的對稱軸上點C的坐標為（4，2）時，的周長最小．