Question

【題目】已知是弧的中點，垂直于弦于，若弦的長度為，線段的長度是，那么線段的長度是________．（用含有的代數式表示）

Answer 1

【答案】

【解析】

延長MP交圓于點D，連接DC并延長交BA的延長線于E點，連接BD，由M是弧CAB的中點，可得∠BDM=∠CDM，又因為MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD=∠EPD=90°，然后由ASA定理可證△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的對應角相等，對應邊相等可得：∠B=∠E，PB=EP，然后由圓內接四邊形的性質可得：∠ECA=∠B，進而可得：∠E=∠ECA，然后根據等角對等邊可得AE=AC，進而可得PB=PE=EA+AP=AC+AP，然后將AC=x，AP=x+1，代入即可得到PB的長．

延長MP交圓于點D，連接DC并延長交BA的延長線于E點，連接BD，

∵M是弧CAB的中點，

∴∠BDM=∠CDM，

∵MP垂直于弦AB于P，

∴∠BPD=∠EPD=90°，

在△DPE和△DPB中，

∵，

∴△DPE≌△DPB（ASA），

∴∠B=∠E，PB=EP，

∵四邊形ABDC是圓內接四邊形，

∴∠ECA=∠B，

∴∠E=∠ECA，

∴AE=AC，

∴PB=PE=EA+AP=AC+AP，

∵AC=x，AP=x+1，

∴PB=2x+1．

故答案為：2x+1．