Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面積是5，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A.AE=5B.∠BOE=∠BCEC.CE⊥OBD.sin∠BOE=0.6

Answer 1

【答案】C

【解析】

過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，構(gòu)建矩形AGOF，求出OG的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求得AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)A；通過(guò)證明E、B、C、O四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)B；由E、B、C、O四點(diǎn)共圓，根據(jù)垂徑定理可知，要想OB⊥CE，通過(guò)判斷弦長(zhǎng)BE和OE的大小即可，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C；利用同角的三角函數(shù)計(jì)算，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)D．

A、過(guò)O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD，

∴OA＝OD，

∴AF＝FD＝AD＝BC＝2，

∵∠AGO＝∠BAD＝∠AFO＝90°，

∴四邊形AGOF是矩形，

∴OG＝AF＝2，

∵S△AEO＝AEOG＝5，

∴AE＝5，

所以此選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

B、連接CE，∵OE⊥AC，

∴∠EOC＝90°

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC+∠EOC＝180°，

∴E、B、C、O四點(diǎn)共圓，

∴∠BCE＝∠BOE，

所以此選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝，

∴AB＝3+5＝8，

∴AC＝，

∴AO＝AC＝，

∴EO＝，

∴OE≠BE，

∵E、B、C、O四點(diǎn)共圓，

∵∠EOC＝90°，

∴EC是直徑，

∴EC與OB不垂直；

此選項(xiàng)的說(shuō)法不正確；

D、sin∠BOE＝sin∠BCE＝，

所以此選項(xiàng)的說(shuō)法正確，

因?yàn)楸绢}選擇說(shuō)法錯(cuò)誤的，

故選C．