Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AC為直徑，，DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：CD平分∠ACE；

（2）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若CE=1，AC=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）直線ED與⊙O相切．理由見解析．（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據圓周角定理，由得到 ，∠BAD=∠ACD，再根據圓內接四邊形的性質得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；

（2）連結OD，如圖，利用內錯角相等證明OD∥BC，而DE⊥BC，則OD⊥DE，于是根據切線的判定定理可得DE為⊙O的切線；

（3）作OH⊥BC于H，易得四邊形ODEH為矩形，所以OD=EH=2，則CH=HE-CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根據扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S扇形OCD-S△OCD進行計算．

試題解析：（1）證明：∵

∴∠BAD=∠ACD，

∵∠DCE=∠BAD，

∴∠ACD=∠DCE，

即CD平分∠ACE；

（2）解：直線ED與⊙O相切．理由如下：

連結OD，如圖，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

而∠OCD=∠DCE，

∴∠DCE=∠ODC，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（3）解：作OH⊥BC于H，則四邊形ODEH為矩形，

∴OD=EH，

∵CE=1，AC=4，

∴OC=OD=2，

∴CH=HE-CE=2-1=1，

在Rt△OHC中，∠HOC=30°，

∴∠COD=60°，

∴陰影部分的面積=S扇形OCD-S△OCD

=

=．