Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接BF、DE交于點M，延長ED到H使DH=BM，連接AM，AH，則以下四個結論：

①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等邊三角形；④S四邊形ABCD= AM2．

其中正確結論的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：∵四邊形ABCD是菱形， AB=BD，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等邊三角形，

∴∠BDF=∠C=60°，又∵BE=CF，∴BC﹣BE=CD﹣CF，即CE=DF，

在△BDF和△DCE中， ，

∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小題正確；

∴∠DBF=∠EDC，

∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，

∴∠BMD=180°﹣∠DMF=180°﹣60°=120°，故②小題正確；

∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，

∴∠DEB=∠ABM，

又∵AD∥BC，∴∠ADH=∠DEB，∴∠ADH=∠ABM，

在△ABM和△ADH中， ，

∴△ABM≌△ADH（SAS），

∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，

∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，

∴△AMH是等邊三角形，故③小題正確；

∵△ABM≌△ADH，

∴△AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，

又∵△AMH的面積=AMAM=AM2，

∴S四邊形ABMD=AM2，

S四邊形ABCD≠S四邊形ABMD，故④小題錯誤，

綜上所述，正確的是①②③共3個．

故選：C．