Question

【題目】閱讀下面材料：

在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖①，我們把一個四邊形的四邊中點依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎？

小敏在思考問題，有如下思路：連接．

結合小敏的思路作答．

（1）若只改變圖①中四邊形的形狀（如圖②），則四邊形還是平行四邊形嗎？說明理由；

（參考小敏思考問題方法）

（2）如圖②，在（1）的條件下，若連接．

①當與滿足什么條件時，四邊形是矩形，寫出結論并證明；

②當與滿足____時，四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）①AC⊥BD，證明見解析；②AC⊥BD且AC=BD

【解析】

（1）連接AC，根據三角形中位線的性質得到EF∥AC，EF=AC，然后根據平行四邊形判定定理即可得到結論；
（2）①根據平行線的性質得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根據矩形的判定定理即可得到結論；

②在①基礎上，只要證明∠EHG=90°即可；

解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：
如圖2，連接AC，
∵E是AB的中點，F是BC的中點，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，

綜上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）①當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形；
理由如下：
同（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四邊形EFGH為矩形；

②結論：當AC⊥BD且AC=BD時，四邊形EFGH是正方形．
理由：由①可知，AC=BD，四邊形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，AC∥HG，
∴HG⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EH⊥HG，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．