Question

【題目】已知任意一個三角形的三個內角的和是180°，如圖1，在ABC中，∠ABC的角平分線BO與∠ACB的角平分線CO的交點為O.

（1）若∠A=70°，求∠BOC的度數；

（2）若∠A=α，求∠BOC的度數；

（3）如圖2，若BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，也就是∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A=α，求∠BOC的度數.

Answer 1

【答案】（1）125°；（2）90°+；（3）120°+

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，根據三角形內角和定理求出即可；
（3）根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根據三角形內角和定理求出即可．

（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分線BO與∠ACB的角平分線CO的交點為O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；

（2）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∵在△ABC中，∠ABC的角平分線BO與∠ACB的角平分線CO的交點為O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=90°-α，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-α）=90°+α；

（3）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=60°-α，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（60°-α）=120°+α．