Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線（）與軸交于A、B兩點（點B在A的右側），與軸交于點C，D是拋物線的頂點.

（1）當時，求頂點D 的坐標

（2）若OD = OB，求的值；

（3）設E為A，B兩點間拋物線上的一個動點（含端點A，B），過點E作EH⊥軸，垂足為H，交直線BC于點F. 記線段EF的長為t，若t的最大值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）D（1，4）；（2）；（3）

【解析】

（1）把代入解析式可求出解析式,再把解析式化為頂點式即可求得結果.

（2）令y=0可得出,,即可得到A,B的坐標,再把一般式化為頂點式可得到頂點坐標D,根據勾股定理可得,再根據OD = OB列出等式即可求出結果.

（3）設經過點B，C 的直線為把點代入可得到,再設點E（，）在拋物線（）上,可得點F（，）, 根據A（，），B（，），點E 在點A，B間的拋物線上,知道線段EF的長有兩種情況,分別是當 時和當 時,即可求出結果.

（1）解：∵ ，∴ .

由,

∴ 頂點D（1，4）.

（2）解：當時,有,即,

解得,.

∴ A（，）,B（，）.

∴ OB =3.

∵ .

∴ D（，）.

根據勾股定理，有.

∵ OD=OB，∴ .

解得 ,（舍）,

∴ .

（3）解：設經過點B，C 的直線為.

把點 B（，），C（，）代入,得.

設點E（，）在拋物線（）上,

有,點F（，）.

∵ A（，），B（，），點E 在點A，B間的拋物線上.

∴ 線段EF的長有兩種情況:

①當 時,

∴ EF =t =.

∵ ,,

∴ 有最大值.

即 當時，t的最大值是.

②當 時,

∴ EF =t =.

∵ ，

∴ 當 時，隨的增大而減小.

∴ 當時，的值最大，最大值是.

∵ ，∴.

當時，的最大值是.

∴ . 即.