Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，頂點的坐標為，對稱軸交軸于點，直線交軸于點，交軸于點，交拋物線的對稱軸于點．

（1）求出的值．

（2）點為拋物線上一個動點，當點關于直線的對稱點恰好落在軸上時，請直接寫出此時點的橫坐標．

Answer 1

【答案】(1) a=-1，b=2，c=3；（2）點P的坐標為（1,4）或（ ）．

【解析】

（1）由拋物線的頂點坐標可設拋物線的解析式為y=a（x-1）2+4，再根據C的坐標利用待定系數法即可求出a,b,c的值．

（2）過點E作EN⊥直線DE，交x軸于點N，則△DOE∽△DEN，利用相似三角形的性質可求出點N的坐標，由點E、N的坐標利用待定系數法可求出直線E N的解析式；設點P關于直線的對稱點落在x軸上Q點處，連接PQ交DE于點R，設直線PQ的解析式為y=-2x+m，利用一次函數圖像上點的坐標特征可求出點Q的坐標，聯立直線PQ和直線DE的解析式組成的方程組，可求出點R的坐標，進而可得出點P的坐標，由點P的坐標利用二次函數圖像上點的坐標特征可得出關于m的一元二次方程，可求m的值，再將其代入點P的坐標中即可解答．

解：（1）∵拋物線頂點F的坐標為（1,4），

∴設拋物線的解析式為y=a（x-1）2+8將C（0,3）代入y=a（x-1）2+8，得：3=a+4，

解得：a=-1，

∴拋物線的解析式為y=-2（x-1）2+8，即y=-2x2+4x+6，

∴a=-1，b=2，c=3

(2)過點E作EN⊥直線DE，交x軸于點N；如圖所示

當x=0時，y=x+1=1，

∴點E的坐標為（0,1），

∴OE=1，DE=

∵∠DOE=∠DEN=90°，∠ODE=∠EDN，

∴△DOE∽△DEN

∴,即

∴DN=

∴點N的坐標為（，0）

∵點E的坐標為（0,1），

∴線段EN所在直線的解析式為y=-2x+1（可利用待定系數法求出）

設點P關于直線y=x+1的對稱點落在x軸上Q點處，連接PQ交DE于點；

R設直線PQ的解析式為y=-2x+m

當y=0時，-2x+m=0解得：x=

∴點Q的坐標為（m，0）

聯立直線PQ和直線DE的解析式成方程組，得：

解得：

∴點R的坐標為（ ，）

∴點R為線段PQ的中點，

∴點P的坐標為（ ，）

3m-82m+8105

∵點P在拋物線y=-2x2+4x+6，的圖象上，

∴，整理，得：9m2-68m+84=0

解得：

∴點P的坐標為（1,4）或（ ）．