Question

【題目】已知：如圖，∠MON＝40°，OE平分∠MON，A，B，C分別是射線OM，OE，ON上的動點(A，B，C不與點O 重合)，連接AC交射線OE于點D.設∠OAC＝x°.

(1)如圖①，若AB∥ON，則

①∠ABO的度數是________．

②當∠BAD＝∠ABD時，x＝________；當∠BAD＝∠BDA時，x＝________.

(2)如圖②，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①20°，②120°，③60°；（2）存在，x＝50、20、35或125

【解析】

試題（1）①運用平行線的性質以及角平分線的定義，可得①∠ABO的度數；②根據∠ABO、∠BAD的度數以及△AOB的內角和，可得x的值；（2）分兩種情況進行討論：AC在AB左側，AC在AB右側，分別根據三角形內角和定理以及直角的度數，可得x的值．

試題解析：如圖1,①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=18，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=18；

②當∠BAD=∠ABD時,∠BAD=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°18°×3=126°；

當∠BAD=∠BDA時,∵∠ABO=18°，

∴∠BAD=81°,∠AOB=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°18°18°81°=63°，

故答案為：①18°；②126，63；

(2)如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角。

∵AB⊥OM,∠MON=36，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°,∠ABO=72°，

①當AC在AB左側時：

若∠BAD=∠ABD=72°,則∠OAC=90°72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=180°72°2=54°,則∠OAC=90°54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°,則∠BAD=36°,故∠OAC=90°36°=54°；

②當AC在AB右側時：

∵∠ABE=108°,且三角形的內角和為180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=180°108°2=36°,則∠OAC=90°+36°=126°.

綜上所述，當x=18、36、54、126時，△ADB中有兩個相等的角。