Question

【題目】對于一個圖形,通過兩種不同的方法計算它的面積,可以得到一個數學等式,例如圖1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,請解答下列問題：

（1）寫出圖2中所表示的數學等式　 　。

（2）根據整式乘法的運算法則,通過計算驗證上述等式。

（3）利用（1）中得到的結論,解決下面的問題：

若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,則a2+b2+c2= .

（4）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形,y張邊長為b的正方形z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為(5a+7b)(9a+4b)長方形,則x+y+z=　 　。

Answer 1

【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）見解析；（3）30；（4）156

【解析】分析：（1）直接求得正方形的面積，然后再根據正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可；

（2）根據多項式的乘法法則計算出（a+b+c）2的結果，即可得到右邊的式子；

（3）將a+b+c=10，ab+bc+ac=35代入（1）中得到的關系式，然后進行計算即可；

（4）長方形的面積xa2+yb2+zab =(5a+7b)(9a+4b)，然后運算多項式乘多項式法則求得(5a+7b)(9a+4b)的結果，從而得到x、y、z的值．

詳解：（1）∵正方形的面積=（a+b+c）2；正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（2）證明：（a+b+c）（a+b+c），

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（3）a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，

=102﹣2（ab+ac+bc）=100﹣2×35=30．

（4）由題可知，所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，

∵（5a+7b）（9a+4b）=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83ab，

∴x=45，y=28，z=83．∴x+y+z=45+28+83=156．