Question

【題目】如圖，，，點在邊上，．

（1）求證：；

（2）若，求的度數；

（3）若，當的外心在直線上時，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）結合已知，要證明還少一個條件，可以在和中結合對頂角和三角形內角和得到，進一步得到，即可證明.

（2）第（1）題已經證明，再根據，得到，所以在等腰求即可.

（3）根據“直角圓周角所對的弦為直徑” 且的外心在直線上，則與的交點即為的外心，再根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到，故是等邊三角形，再用特殊角的三角函數求即可.

解：（1）∵和相交于點，

∴．

又∵在和中，，

∴．

又∵，

∴，

∴，即．

在和中，

，

∴．

（2）∵

∴

又∵

∴

∴

∴

（3）∵，且的外心在直線上

∴點是的外心（或是中點）

∴

又∵

∴是等邊三角形

∴

在中，

∴