Question

【題目】已知，AB、AC為圓O的弦，連接CO并延長，交AB于點D，且∠ADC=2∠C；

（1）如圖1，求證：AD=CO；

（2）如圖2，取弧BC上一點E，連接EB、EC、ED，且∠EDA=∠ECA，延長EB至點F，連接FD，若∠EDF-∠F=60°，求∠BDF的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若CD=10，，求AC的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）30°；（3）

【解析】

（1）利用三角形外角的性質結合已知即可求得∠ADC=∠DOA，從而證得AD=CO；

（2）設，則，利用等角的余角相等證得∠EBA=∠EDB，根據三角形內角和定理通過計算即可求得答案；

（3）作出輔助線，證得為等邊三角形，利用ASA證得，根據平角的定義求得，設，在中，根據勾股定理可求得，在中，根據勾股定理即可求解．

（1）連接，

∵OC=OA，

∴∠C=∠OAC，

∴∠DOA=∠C=∠OAC=2∠C，

∵∠ADC=2∠C，

∴∠ADC=∠DOA，

∴AD=OA=OC；

（2）設，則，

∴，

∵，

又∵∠ECA+∠EBA=180，∠EDA+∠EDB=180，

∴∠EBA=∠EDB，

∴，

∴；

（3）延長交于，連接、、、，

作，，

∵，，

∴，

∴為等邊三角形，

，

∴∠EBG=∠EDF，

∵，，

∴(ASA)，

∴，

∴，

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴，

設，

∴，

中，，

∴，

∴或（舍，此時），

在和中，

∵，，

∴(HL)，

∴，

∵，

∴．