Question

【題目】如圖，矩形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O，點 E 在 AD 上，且 DE=CD，連接 OE，BE， ABE ACB ，若 AE=2，則 OE 的長為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作∠ACB的平分線CG交BE于G，AC與BE交于點F，首先證明CB＝CF，AF＝AE＝2，然后在Rt△ABC中利用勾股定理構建方程求出DE＝CD＝AB＝6，BC＝CF＝AD＝8，BD＝AC＝10，過點E作EH⊥BD于H，證明△EHD∽△BAD，利用相似三角形的性質求出EH和DH，進而可得OH，再利用勾股定理求OE即可．

解：作∠ACB的平分線CG交BE于G，AC與BE交于點F，

∵ABE＝ACB，GCB＝ACB，

∴ABE＝GCB，

∵ABE＋∠EBC＝90°，

∴GCB＋∠GBC＝90°，

∴CG⊥BE，

∵CG平分∠ACB，

∴CB＝CF，

∴∠FBC＝∠BFC＝∠AFE，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠FBC，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AF＝AE＝2，

設DE＝CD＝AB＝x，則BC＝CF＝AD＝x+2，AC＝x+2+2＝x+4，

在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+(x+2)2＝(x+4)2，

解得：x＝6（負值已舍去），

∴DE＝CD＝AB＝6，BC＝CF＝AD＝8，BD＝AC＝10，

過點E作EH⊥BD于H，

∵∠EHD＝∠BAD，∠EDH＝∠BDA，

∴△EHD∽△BAD，

∴，即，

∴，，

∴OH＝OD－DH＝BD－DH＝，

∴，

故答案為：．