Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax﹣6（a＞0）與x軸交于A，B兩點，且OB＝3OA，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點E．

（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出頂點D的坐標；

（2）如圖2，直線y＝+n與拋物線交于G，H兩點，直線AH，AG分別交y軸負半軸于M，N兩點，求OM+ON的值；

（3）如圖1，點P在線段DE上，作等腰△BPQ，使得PB＝PQ，且點Q落在直線CD上，若滿足條件的點Q有且只有一個，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣8，D（2，﹣8）（2）9;（3）P（2，8﹣4）

【解析】

（1）由OB=3OA可設A（-t，0），B（3t，0），代入拋物線解析式即得到關于a、t的二元方程，解方程求出a即求得拋物線解析式，配方即得到頂點D的坐標．

（2）由（1）求得t=2可知點A（-2，0），設G（x1，x12-2x1-6），H（x2，x22-2x2-6），把直線y=x+n與拋物線解析式聯立方程組，消去y后整理得關于x的一元二次方程，x1、x2即為方程的解，根據韋達定理求得x1+x2=3．設直線AG解析式為y=kx+b，把點A、G坐標代入求出b的值即為點N縱坐標，進而得到用x1表示的ON的值，同理可求得用x2表示的OM的值，相加再把x1+x2代入即求得OM+ON的值．

（3）以點P為圓心，PB長為半徑的⊙P，由于滿足PB=PQ（即點Q在⊙P上）且點Q在直線CD上的點Q有且只有一個，即⊙P與直線CD只有一個公共點，所以直線CD與⊙P相切于點Q．由（1）得點C、D坐標可知直線CD與DE夾角為45°，△PDQ為等腰直角三角形，PD=

2

PQ=

2

PB．設點P縱坐標為p，用p表示PB和PD的長并列得方程即可求p的值．由于點P在線段DE上，故p的值為負數，舍去正數解．

（1）∵拋物線y＝ax2﹣4ax﹣6與x軸交于A，B兩點，OB＝3OA

∴設A（﹣t，0），B（3t，0）（t＞0）

∴ 解得：

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8

∴頂點D的坐標為（2，﹣8）

（2）∵t＝2

∴A（﹣2，0）

設拋物線上的點G（x1，x12﹣2x1﹣6），H（x2，x22﹣2x2﹣6）

∵直線y＝+n與拋物線交于G，H兩點

∴ 整理得：x2﹣3x﹣12﹣2n＝0

∴x1+x2＝3

設直線AG解析式為y＝kx+b，即N（0，b）（b＜0）

∴

①×x1得：﹣2kx1+bx1＝0 ③

②×2得：2kx1+2b＝x12﹣4x1﹣12 ④

③+④得：（x1+2）b＝（x1+2）（x1﹣6）

∵點G與A不重合，即x1+2≠0

∴b＝x1﹣6即ON＝﹣b＝6﹣x1

同理可得：OM＝6﹣x2

∴OM+ON＝6﹣x2+6﹣x1＝12﹣（x1+x2）＝12﹣3＝9

（3）如圖，過點C作CF⊥DE于點F，以點P為圓心、PB為半徑作圓

∵PB＝PQ

∴點Q在⊙P上

∵有且只有一個點Q在⊙P上又在直線CD上

∴⊙P與直線CD相切于點Q

∴PQ⊥CD

由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）

∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF

∴∠CDF＝45°

∴△DPQ為等腰直角三角形

∴PD＝PQ

∴PD2＝2PQ2＝2PB2

設P（2，p）（﹣8≤p≤0）

∴PD＝p+8，PB2＝（6﹣2）2+p2＝16+p2

∴（p+8）2＝16+p2

解得：p1＝8﹣4，p2＝8+4（舍去）

∴點P坐標為（2，8﹣4）