Question

【題目】如圖，拋物線：與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），將拋物線l在x軸下方部分沿x軸翻折，x軸上方的圖像保持不變，就組成了函數的圖像．

（1）若點A的坐標為（1，0）．

①求拋物線的表達式，并直接寫出當x為何值時，函數的值y隨x的增大而增大；

②如圖2，若過A點的直線交函數的圖像于另外兩點P，Q，且，求點P的坐標；

（2）當時，若函數的值y隨x的增大而增大，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①當或時，函數的值y隨x的增大而增大，② P點坐標為，；（2）當或時，函數的值y隨x的增大而增大．

【解析】分析：（1）①利用待定系數法求拋物線的解析式，由對稱性求點B的坐標，根據圖象寫出函數的值y隨x的增大而增大（即呈上升趨勢）的x的取值；
②如圖2，作輔助線，構建對稱點F和直角角三角形AQE，根據S△ABQ=2S△ABP，得QE=2PD，證明△PAD∽△QAE，則，得AE=2AD，設AD=a，根據QE=2FD列方程可求得a的值，并計算P的坐標；
（2）先令y=0求拋物線與x軸的兩個交點坐標，根據圖象中呈上升趨勢的部分，有兩部分：分別討論，并列不等式或不等式組可得h的取值．

詳解：（1）①∵點A（1，0）在拋物線上，

∴ ．

解得h=3或．

∵點A在點B左側，

∴（舍去）．

∴．

∴ 拋物線的表達式為．

∴拋物線的對稱軸為直線．

∴由對稱性得B（5，0）．

由圖象可知：當或時，函數的值y隨x的增大而增大．

②如圖2，作PD⊥x軸于點D，延長PD交拋物線l于點F，作QE⊥x軸于點E．

由對稱性可得 DF=PD．

∵，

∴．

∴QE=2PD．

∵∠ADP=∠AEQ=90°，∠PAD=∠EAQ．

∴△PAD∽△QAE．

∴．

∴AE=2AD．

設AD=a，則OD=1+a，OE=1+2a，P（1+，）．

∵點F，Q在拋物線上，

∴．

．

∴．

解得：或（舍去）．

∴P點坐標為，．

（2）（2）當y=0時，（x-h）2-2=0，
解得：x=h+2或x=h-2，
∵點A在點B的左側，且h>0，
∴A（h-2，0），B（h+2，0），
如圖3，作拋物線的對稱軸交拋物線于點C，

分兩種情況：
①由圖象可知：圖象f在AC段時，函數f的值隨x的增大而增大，
則，

∴3≤h≤4，
②由圖象可知：圖象f點B的右側時，函數f的值隨x的增大而增大，
即：h+2≤2，
h≤0，
綜上所述，當3≤h≤4或h≤0時，函數f的值隨x的增大而增大．