Question

【題目】【閱讀理解】對于任意正實數a、b，因為≥0，所以 ≥0，所以≥2，只有當時，等號成立．

【獲得結論】在≥2（a、b均為正實數）中，若為定值，則≥2，只有當時， 有最小值2．

根據上述內容，回答下列問題：若>0，只有當= 時， 有最小值 ．

【探索應用】如圖，已知A（－3，0），B（0，－4），P為雙曲線（＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

【答案】（1）1，2（2）菱形

【解析】分析：（1）根據題目所給信息可知m+≥2，且當m=時等號成立，可得出答案；

（2）可設P（x， ），可表示出AC和BD，則四邊形ABCD的面積為S四邊形ABCD=2（x+）+12，再利用所給信息可得到其最小值，此時x=3，可得出AC=BD，可得出四邊形ABCD為菱形．

詳解：（1）根據題目所給信息可知m+≥2，且當m=時等號，∴當m=1時，m+≥2，即當m=1時，m+有最小值2．故答案為：1，2；

（2）設P（x， ），則C（x，0），D（0， ），∴CA=x+3，BD=+4，∴S四邊形ABCD=CA×BD=（x+3）（+4），化簡得：S=2（x+）+12．∵x＞0， ＞0，∴x+≥2=6，只有當x=，即x=3時，等號成立，∴S≥2×6+12=24，∴四邊形ABCD的面積有最小值24，此時，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四邊形ABCD是菱形．