Question

【題目】如圖1，拋物線y1=x2tx-t+2與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，過y軸上的點C(0，4)，直線y2=kx+3交x軸，y軸于點M、N，且ON=OC.

(1)求出t與k的值.

(2)拋物線的對稱軸交x軸于點D，在x軸上方的對稱軸上找一點E，使△BDE與△AOC相似，求出DE的長.

(3)如圖2，過拋物線上動點G作GH⊥x軸于點H，交直線y2=kx+3于點Q，若點Q′是點Q關于直線MG的對稱點，是否存在點G(不與點C重合)，使點Q′落在y軸上？，若存在，請直接寫出點G的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)t=-2，k=；(2)或8；(3)；；；.

【解析】

（1）將C(0，4) 代入拋物線y1=x2tx-t+2，求出t的值，由ON=OC可寫出點N坐標，將其代入直線y2=kx+3即可求出k；

（2）因為∠AOC=∠EDB=90°已經確定，所以分兩種情況討論，當△AOC∽△BDE和△AOC∽△EDB時，通過對應邊成比例可分別求出DE的長；

（3）先根據題意畫出圖形，通過軸對稱的性質證明四邊形QMQ'G為菱形，分別用字母表示出Q、G的坐標，分兩種情況討論求出GQ'的長度，利用三角函數可求出點G的橫坐標.

解：（1）將點C(0，4)代入拋物線y1=x2tx-t+2，得-t+2=4，∴t=-2，

∴拋物線y1=x2x+4，

∵ON=OC，∴N（-4，0），

將N（-4，0）代入直線y2=kx+3，得-4k+3=0，∴，

∴直線y2=x+3，

∴t=-2，.

（2）如圖1，鏈接BE，在y1=x2x+4中，當y=0時，解得：，，

∴A（-1，0），B（3，0），對稱軸為x=，

∴D（1，0），

∴AO=1，CO=4，BD=2，∠AOC=∠EDB=90°，

①當△AOC∽△BDE時，

，即，

∴DE=8，

②當△AOC∽△EDB時，

，即，

∴DE=，

綜上：DE=或8；

（3）如圖2，點Q'是點Q關于直線MG的對稱點，且點Q'在y軸上，

由軸對稱的性質知：QM= Q'M，QG= Q'G，∠Q'MG= ∠QMG，

∵QG⊥x軸，∴QG∥y軸，

∴∠Q'MG=∠QGM，

∴∠QMG=∠QGM，

∴QM=QG，

∴QM=Q'M=QG=Q'G，

∴四邊形QMQ'G為菱形，

設G（a，a2a+4），則Q（a，a+3），

過點G作GH⊥y軸于點H，

∵GQ'∥QN，

∴∠GQ'H=∠NMO，

在Rt△NMO中，

NM=，

∴，

∴，

①當點G在直線MN下方時，QG= Q'G=，

∴，解得：，；

②如圖3，當點G在直線MN上方時，QG= Q'G=，

∴，解得：，.

綜上所述：點G的橫坐標為，，或.