Question

【題目】已知，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，在CD的延長線上取一點P，PG與⊙O相切于點G，連接AG交CD于點F．

（Ⅰ）如圖①，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小；

（Ⅱ）如圖②，若E為半徑OA的中點，DG∥AB，且OA＝2，求PF的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∠GFP＝70°，∠AGP＝70°；（Ⅱ）PF＝4．

【解析】

（Ⅰ）連接OG，在Rt△AEF中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因為OA＝OG，所以∠OGA＝∠A＝20°，因為PG與⊙O相切于點G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝90°﹣20°＝70°．；

（Ⅱ）如圖，連結BG，OG，OD，AD，證明△OAD為等邊三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD＝30°，因為DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在Rt△AGB中可求得AG＝6，在Rt△AEF中可求得AF＝2，再證明△GFP為等邊三角形，所以PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．

解：（Ⅰ）連接OG，

∵CD⊥AB于E，

∴∠AEF＝90°，

∵∠A＝20°，

∴∠EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，

∴∠GFP＝∠EFA＝70°，

∵OA＝OG，

∴∠OGA＝∠A＝20°，

∵PG與⊙O相切于點G，

∴∠OGP＝90°，

∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．

（Ⅱ）如圖，連結BG，OG，OD，AD，

∵E為半徑OA的中點，CD⊥AB，

∴OD＝AD＝OA，

∴△OAD為等邊三角形，

∴∠AOD＝60°，

∴∠AGD＝∠AOD＝30°，

∵DG∥AB，

∴∠BAG＝∠AGD＝30°，

∵AB為⊙O的直徑，OA＝2，

∴∠AGB＝90°，AB＝4，

∴AG＝ABcos30°＝6，．

∵OG＝OA，

∴∠OGA＝∠BAG＝30°，

∵PG與⊙O相切于點G，∴∠OGP＝90°，

∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，

∵∠AEF＝90°，AE＝，∠BAG＝30°，

∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，

∴△GFP為等邊三角形，

∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．