Question

【題目】如圖，四邊形是的內接四邊形．，點是的中點，連接相交于點，過點作交延長線于點．

（1）求證：為的切線；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6

【解析】

（1）連接OA，由垂徑定理易得OA⊥BD，再由AE∥BD，可得OA⊥AE，即可得證；

（2）由平行弦所夾的弧相等可推出BC=AD=AB=4，所以四邊形ABCD為等腰梯形，過A作AP⊥CD于點P，過B作BQ⊥CD于點Q，易得PQ=AB=4，PD=CQ=0.5，然后利用勾股定理可求出BD，再證明四邊形ABDE為平行四邊形，可得AE=BD．

（1）如圖，連接OA，

∵點A是的中點，

∴OA⊥BD

又∵AE∥BD

∴OA⊥AE

∴AE為的切線．

（2）∵AB∥CD

∴

∴BC=AD=AB=4

∴四邊形ABCD為等腰梯形

如圖所示，過A作AP⊥CD于點P，過B作BQ⊥CD于點Q，

則四邊形ABQP為矩形

∴PQ=AB=4

∵四邊形ABCD為等腰梯形

∴AD=BQ，AP=BQ

∴Rt△ADP≌Rt△BCQ（HL）

∴PD=BQ=

在Rt△BCQ中，CQ2+BQ2=BC2

在Rt△BDQ中，

BD2=DQ2+BQ2=

∴BD=6

∵AE∥BD，AB∥DE

∴四邊形ABDE為平行四邊形

∴AE=BD=6