Question

【題目】已知點A（t，1）為函數y＝ax2+bx+4（a，b為常數，且a≠0）與y＝x圖象的交點．

（1）求t；

（2）若函數y＝ax2+bx+4的圖象與x軸只有一個交點，求a，b；

（3）若1≤a≤2，設當≤x≤2時，函數y＝ax2+bx+4的最大值為m，最小值為n，求m﹣n的最小值．

Answer 1

【答案】（1）t＝1；（2）或；（3）m﹣n的最小值

【解析】

（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到結論；
（2）根據題意得方程組，解方程組即可得到結論；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2＋bx＋4得，b＝3a，得到y＝ax2（a＋3）x＋4的對稱軸為直線x＝，根據1≤a≤2，得到對稱軸的取值范圍≤x≤2，當x＝時，得到m＝，當x＝2時，得到n＝，即可得到結論．

解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；

（2）∵y＝ax2+bx+4的圖象與x軸只有一個交點，

∴，

∴或；

（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，

∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣，

∴對稱軸為直線x＝，

∵1≤a≤2，

∴≤x＝≤2，

∵≤x≤2，

∴當x＝時，y＝ax2+bx+4的最大值為m＝﹣，

當x＝2時，n＝﹣，

∴m﹣n＝，

∵1≤a≤2，

∴當a＝2時，m﹣n的值最小，

即m﹣n的最小值．