Question

【題目】如圖：△ABC中，∠C=45°，點D在AC上，且∠ADB=60°，AB為△BCD外接圓的切線．

（1）用尺規作出△BCD的外接圓（保留作圖痕跡，可不寫作法）；

（2）求∠A的度數；

（3）求的值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）∠A=75°；（3）=2．

【解析】試題分析：（1）利用三角形外接圓的圓心是各邊垂直平分線的交點即可畫出圖形．

（2）只要證明△BOD是等腰直角三角形即可推出∠ABD=∠DBO=45°，利用三角形內角和定理即可解決問題．

（3）過點B作BE⊥AC，垂足為點E，設DE=x，則BD=2x，BE= =x，用x的代數式表示AD、DC即可解決問題．

試題解析：（1）作BC的垂直平分線MN，作BD的垂直平分線HF，MN與FH的交點為O，以點O為圓心OB為作⊙O即可．如圖所示：

；

（2）連結OB、OD，

由切線性質，知∠ABO=90°．

∵∠ACB=45°，∴∠BOD=90°（同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）．

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=45°，

由∠ABO=90°，得∠ABD=45°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣45°﹣60°=75°；

（3）過點B作BE⊥AC，垂足為點E，

在Rt△BCE中，∵∠ACB=45°，∴∠EBC=45°，∴BE=CE．

在Rt△BDE中，∵∠DBE=90°﹣∠EDB=30°，∴BD=2DE，

設DE=x，則BD=2x，BE==xDC=CE﹣DE=BE﹣DE=（﹣1）x．

AE=AD﹣DE=AD﹣x．

在△ABC和△ADB中，∵∠ABD=∠ACB=45°，∠A為公共角，∴△ABC∽△ADB，

∴ ，即AB2=ACAD，即

AB2=（AD+DC）AD=AD2+AD（﹣1）x　　①．

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2=AE2+BE2=（AD﹣x）2+（x）2　　②．

由①、②，得AD2+AD（﹣1）x=（AD﹣x）2+（x）2，

化簡整理，解得AD=2（﹣1）x．

∴ =2，

∴=2．