Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=BC=AC=6cm，點P從點B出發，沿B→C方向以1．5cm/s的速度運動到點C停止，同時點Q從點A出發，沿A→B方向以1cm/s的速度運動，當點P停止運動時，點Q也隨之停止運動，連接PQ，過點P作BC的垂線，過點Q作BC的平行線，兩直線相交于點M．設點P的運動時間為x（s），△MPQ與△ABC重疊部分的面積為y（cm2）（規定：線段是面積為0的圖形）．

（1）當x= （s）時，PQ⊥BC；

（2）當點M落在AC邊上時，x= （s）；

（3）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1.5；（2）3；（3）

【解析】

（1）令PQ⊥BC，表示出BP和BQ的長，利用余弦的定義得出方程，求解即可；

（2）根據△ABC是等邊三角形得出BQ=CM，表示出PC的長，結合余弦的定義得出方程，求解即可；

（3）根據（1）和（2）中結論，分0≤x＜1.5時，1.5≤x≤3時，3＜x≤4時三種情況畫出圖形，求出相應邊長，可得函數解析式.

解：（1）當PQ⊥BC時，

BP=1.5x，BQ=6-x，

∴BQ=，即6-x=，

∴6-x=3x，

解得：x=1.5，

∴當x=1.5時，PQ⊥BC；

（2）∵△ABC是等邊三角形，QM∥BC，

∴AQ=AM，BQ=CM，

PC=6-1.5x，CM=，

∴BQ=12-3x，AQ=x，

∴12-3x+x=6，

解得x=3，

∴當點M落在AC上時，x=3（s）；

（3）當0≤x＜1.5時，過Q作QE⊥BC于E，

∵BQ=6-x，

∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°，

y=S△BPQ-S△BPD

=

=

=；

當1.5≤x≤3時，過點Q作QD⊥BC于D，

可知：四邊形QDPM為矩形，

∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°，

PM=MC·sin60°=BQ·sin60°，

則y=S△PQM

=

=

=；

當3＜x≤4時，

如圖所示，過點Q作QE⊥BC于點E，

可知四邊形QEPM為矩形，

∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x-（6-x）=2x-3，

∵QM∥BC，

∴△AQO為等邊三角形，∠MON=∠C=60°，

∴AQ=OQ=AO=x，

∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3，

∵PC=6-1.5x，∠C=60°，

∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°=，

∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°-=，

y=S△PQM-S△NOM

=

=-（x-3）（）

=

故y關于x的函數解析式為.