Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等邊三角形，點D在邊AB上．

（1）如圖1，當點E在邊BC上時，求證DE＝EB；

（2）如圖2，當點E在△ABC內部時，猜想ED和EB數量關系，并加以證明；

（3）如圖3，當點E在△ABC外部時，EH⊥AB于點H，過點E作GE∥AB，交線段AC的延長線于點G，AG＝5CG，BH＝3．求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）ED=EB，證明見解析；（3）CG=2．

【解析】

試題(1)、根據等邊三角形的性質得出∠CED=60°，從而得出∠EDB=30°，從而得出DE=BE；(2)、取AB的中點O，連接CO、EO，根據△ACO和△CDE為等邊三角形，從而得出△ACD和△OCE全等，然后得出△COE和△BOE全等，從而得出答案；(3)、取AB的中點O，連接CO、EO、EB，根據題意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO全等，設CG=a，則AG=5a，OD=a，根據題意列出一元一次方程求出a的值得出答案．

試題解析：(1)、證明：∵△CDE是等邊三角形， ∴∠CED=60°， ∴∠EDB=60°﹣∠B=30°，

∴∠EDB=∠B， ∴DE=EB；

(2)、解：ED=EB， 理由如下：取AB的中點O，連接CO、EO，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=60°，OC=OA， ∴△ACO為等邊三角形， ∴CA=CO，

∵△CDE是等邊三角形， ∴∠ACD=∠OCE，∴△ACD≌△OCE， ∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°， ∴△COE≌△BOE， ∴EC=EB， ∴ED=EB；

(3)、取AB的中點O，連接CO、EO、EB， 由（2）得△ACD≌△OCE，

∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，△COE≌△BOE，∴EC=EB，∴ED=EB， ∵EH⊥AB，

∴DH=BH=3，∵GE∥AB， ∴∠G=180°﹣∠A=120°， ∴△CEG≌△DCO， ∴CG=OD，

設CG=a，則AG=5a，OD=a，∴AC=OC=4a，∵OC=OB， ∴4a=a+3+3， 解得，a=2，

即CG=2．