Question

【題目】在直角坐標系中，O為坐標原點，點A（4，0），點B（0，4），C是AB中點，連接OC，將△AOC繞點A順時針旋轉，得到△AMN，記旋轉角為α，點O，C的對應點分別是M，N．連接BM，P是BM中點，連接OP，PN．

（Ⅰ）如圖①．當α＝45°時，求點M的坐標；

（Ⅱ）如圖②，當α＝180°時，求證：OP＝PN且OP⊥PN；

（Ⅲ）當△AOC旋轉至點B，M，N共線時，求點M的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M（4﹣2，2）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）滿足條件的點M的坐標為（2，2）或（2，﹣2）．

【解析】

（Ⅰ）如圖①中，過點M作MD⊥OA于D．解直角三角形求出OD，OM即可解決問題．

（Ⅱ）如圖②，當α＝180°時，點B，A，N共線，O，A，M共線，利用直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．

（Ⅲ）分兩種情形：①如圖③1中，當點M在線段BN上時，②如圖③2中，當點N在線段BM上時，分別求解即可解決問題．

（Ⅰ）如圖①中，過點M作MD⊥OA于D．

∵A（4，0），B（0，4），

∴OA＝OB＝4，

∵C是AB的中點，

∴OC＝CB＝CA＝AB，且OC⊥AB，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴當α＝45°時，點M在AB上，

由旋轉可知：△AOC≌△AMN，

∴AM＝OA＝4．MD＝AD＝AM＝2，

∴OD＝OA＝AD＝4﹣2，

∴M（4﹣2，2）．

（Ⅱ）如圖②，當α＝180°時，點B，A，N共線，O，A，M共線，

∵∠BNM＝∠BOM＝90°，P是BM的中點，

∴OP＝PN＝PB＝PM，

∴∠PMN＝∠PNM，∠POB＝∠PBO，

∵∠NPM＝180°﹣2∠PMN，∠BPO＝180°﹣2∠PBO，

∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（∠PMN+∠PBO）

∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（45°+∠PMO+∠PBO），

∵∠PMO+∠PBO＝90°，

∴∠MPN+∠BPO＝90°，

∴∠OPN＝180°﹣（∠MPN+∠BPO）＝90°，

∴OP⊥PN．

（Ⅲ）①如圖③﹣1中，當點M在線段BN上時，

在Rt△ABN中，∵AB＝4，AN＝2，

∴AB＝2AN，

∴∠ABN＝30°，

∴BN＝AN＝2，BM＝BN＝MN＝2﹣2，

過點M作MK⊥OB于K，在MK上截取一點J，使得BJ＝MJ，設BK＝a，

∵∠ABO＝45°，

∴∠MBK＝75°，∠KMB＝15°，

∵JB＝JM，

∴∠JBM＝∠JMB＝15°，

∴∠BJK＝∠JBM+∠JMB＝30°，

∴BJ＝JM＝2a，KJ＝a，

∵BM2＝BK2+KM2，

∴（2﹣2）2＝a2+（2a+a）2，

解得a＝4﹣2（負根已經舍棄），

∴KM＝2a+a＝2，OK＝2，

∴M（2，2），

②如圖③﹣2中，當點N在線段BM上時，同法可得M（2，﹣2），

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（2，2）或（2，﹣2）．