Question

【題目】如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒. 動點E到達點C時運動終止.連結DE、CD、AE.（1）填空:當動點運動_______ 秒時，△BDE與△ABC相似？

（2）設動點運動t秒時△ADE的面積為s，求s與t的函數解析式；

（3）在運動過程中是否存在某一時刻t，使CD⊥DE？若存在，求出時刻t；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）秒或秒；（2）s=t2（0≤t≤）；(3)存在，．

【解析】

試題設D點運動時間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），

（1）分類：當∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BAC；當∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分別根據三角形相似的性質得到比例線段求出t的值；

（2）過E作EF⊥AB于F，易證Rt△BEF∽Rt△BAC，根據三角形相似的性質得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據三角形的面積公式求解即可；

（3）先計算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根據三角形相似的性質得到比例線段求出t．

試題解析：設D點運動時間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），

（1）當∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BAC，

∴BD：BA=BE：BC，即（4-t）：4=2t：5，

∴t=；

當∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BCA，

∴BD：BC=BE：BA，即（4-t）：5=2t：4，

∴t=；

所以當動點運動秒或秒時，△BDE與△ABC相似；

（2）過E作EF⊥AB于F，如圖，

易證Rt△BEF∽Rt△BAC，

∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，

∴EF=，BF=，

∴S=AD×EF=×t×=t2（0≤t≤）；

（3）存在．

DF=AB-AD-BF=4-t-=4-t，

若CD⊥DE，

易證得Rt△ACD∽Rt△FDE，

∴AC：DF=AD：EF，即3：（4-t）=t：，

∴t=．