Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D是第一象限內拋物線上的一個動點（與點C、B不重合），過點D作DF⊥x軸于點F，交直線BC于點E，連接BD、CD．設點D的橫坐標為m，△BCD的面積為S．求S關于m的函數解析式及自變量m的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）已知M為拋物線對稱軸上一動點，若△MBC是以BC為直角邊的直角三角形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）

【解析】

（1）拋物線解析式為y＝a（x＋1）（x3）＝a（x22x3），將點C坐標代入即可求解；

（2）先求出直線BC的解析式，設D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解；

（3）分MC是斜邊、MB是斜邊兩種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x22x3），

將點C坐標代入,得

-3a＝3，解得：a＝-1，

拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）設直線BC的函數解析式為y＝kx+b，

∵直線BC過點B（3，0），C（0，3），

∴，解得，

∴y＝﹣x+3，

設D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），

∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴，

∵，

∴當時，S有最大值，最大值；

（3）拋物線y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為直線x=1

設點M（1，m），

則MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；

①當MC是斜邊時，

1+（m﹣3）2＝m2+4+18；

解得：m＝﹣2；

②當MB是斜邊時，

同理可得：m＝4，

故點M的坐標為：（1，﹣2），（1，4）．