Question

【題目】 如圖1，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點E，BD平分∠ABE交AC于F，交圓O于點D，且∠BDE=∠CBE．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）如圖2，延長ED交直線AB于點P，若 PA=AO，DE=2，求的值及AO的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠AEB=90°，從而得出∠A＋∠EBA=90°，然后根據同弧所對的圓周角相等可得∠A=∠BDE，再結合已知條件即可證出∠CBA=90°，最后根據切線的判定定理即可證出結論；

（2）連接OD，根據圓周角定理可得∠DOP=2∠DBP，結合已知條件即可證出OD∥BE，再根據平行線分線段成比例定理即可求出，然后根據相似三角形的判定定理證出△APE∽△DPB，列出比例式即可求出結論．

（1）證明：∵AB為直徑

∴∠AEB=90°

∴∠A＋∠EBA=90°

∵∠A=∠BDE

∴∠BDE＋∠EBA=90°

∵∠BDE=∠CBE

∴∠CBE＋∠EBA=90°

∴∠CBA=90°

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接OD，

∴∠DOP=2∠DBP

∵BD平分∠ABE

∴∠EBP=2∠DBP

∴∠DOP=∠EBP

∴OD∥BE，

∴

∵PA=AO=OB，

∴PO=2BO ，PB=3PA

∴

∵DE=2

∴PD=2DE=4

∴PE=PD＋DE=6

∵∠PEA=∠PBD，∠P=∠P

∴△APE∽△DPB，

∴

∴

解得：PA=

∴．