Question

【題目】如圖，已知拋物線Y=ax2+bx一3與X軸相交于A(一1，0)，B(3，0)，P為拋物線上第四象限上的點．

（1）求該拋物線的函數關系式．
（2）過點P作PD⊥X軸于點D，PD交BC于點E，當線段PE的長度最大時，求點P的坐標．
（3）當線段PE的長度最大時，作PF ⊥BC于點F，連結DF．在射線PD上有一點Q，滿足∠PQB=∠DFB，問在坐標軸上是否存在一點R，使得S△RBE=S△QBE；如果存在，直接寫出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解 ：將A(一1，0)，B(3，0)分別代入Y=ax2+bx一3得

解得
∴該拋物線的函數關系式為 y=x2-2x-3 ;
（2）解 ：把x=0代入y=x2-2x-3 ;得，y=-3 ,
∴C （0，-3） ，
設直線BC的解析式為y=kx+b,將C （0，-3）與B(3，0)，分別代入得 ，

解得 ,
∴直線BC的解析式為y=x-3 ;
設P （m,m2-2m-3）,
過點P作PD⊥X軸于點D，PD交BC于點E ，
E （m,m-3） ,
∴PE=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m=-(m-)2+ ,
故當m=時，PE最大。此時P （，-）

（3）解 ：當線段PE的長度最大時 ,P （ ，-） ，E （，- ） ，PE = ,
∴ D(,0) ,
∴BD =
∵B（3,0） ，C （0,3）
∴OB=3=OC ，
∴OBC為等腰直角三角形 ，∴∠OBC=45° ,
在RtDBE中，∠ABC=45° ,DB= ,
∴BE= ,∠DEB=45° ,
∴∠PEF=45°
在RtPEF中 ∠PEF=45° PE= ,
∴EF= ,
∴BF= ;
∵∠PQB=DFB ,∠DBE=∠DEB=45° ,
∴QBE∽FDB ,
∴DB∶BE＝BF∶QE ,
即 ∶=∶QE ,
∴QE= ,
∵SBQE=·QE·DB== ;
當R點在x軸上時，設R （n,0） ,BR=|3-n| ,
∴SRBE= ,
∴=|3-n|·
|3-n|=
n1=- n2= .
∴R (-,0) (,0) ;
當R在y軸上的時候，設R（0，z）
SBER=SBRC-SREC
∴=3×|z-3|-××|z-3|
解得 z1= ,z2=- ;
∴R (0,-) (0, ) ,
綜上所述，R點的坐標為（0 . ） （0，- ）（ ，0）（ -，0）

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線的解析式 ；
（2）首先求出C點的坐標，再用待定系數法求出直線BC的解析式為y=x-3 ；設P （m,m2-2m-3），過點P作PD⊥X軸于點D，PD交BC于點E ，從而E （m,m-3） ，故PE=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m=-(m-)2+ ，從而求出當m=時，PE最大，此時P （，-）；
（3）首先求出E 點坐標，PE長度，進而得出BD的長度，根據B,C兩點的坐標判斷出OBC為等腰直角三角形，進而根據勾股定理得出BE的長，根據對頂角相等得出在RtPEF中∠PEF=45°，根據勾股定理得出EF的長，從而得出BF的長，然后判斷出QBE∽FDB ,根據相似三角形對應邊成比例列出方程，求出QE的長，根據三角形的面積公式求出SBQE，當R點在x軸上時，設R （n,0） ,BR=|3-n| ,根據S△RBE=S△QBE列出方程求出n的值，得出R點的坐標，當R在y軸上的時候，設R（0，z） 由SBER=SBRC-SREC列出方程求出z的值，再求出R點在y軸上的時候的坐標，從而得出本題答案。