Question

【題目】在邊長為3的正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA邊上，且滿足EB=FC=GD=HA=1，BD分別與HG、HF、EF相交于M、O、N.給出以下結論，
①HO=OF ②0F2=ON·OB③HM=2MG ④S△HOM= ，其中正確的個數有（ ）


A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解 ：∵四邊形ABCD是正方形，
∴ AD=BC =AB=CD=3 , ,∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC=90° ,∠ADB=∠DBC=45° ,
∵EB=FC=GD=HA=1 ,
∴AE＝＝CG＝BF＝DH=2 ,
∴AEH≌BFE≌CGF≌DHG ,
∴EH=EF=FG=GH ,∠AHE＝∠BEF ,
∵∠AEH＋∠AHE=90° ,
∴∠AEH＋∠BEF=90° ,
∴∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是正方形 ，
∴∠OFN=45°
∴,∠OFN=∠OBF=45° ,
又∵∠FON=∠BOF ,
∴ONF∽OFB ,
∴ON∶OF＝OF∶OB ,
∴0F2=ON·OB ; 故②正確；
在HOD與FOB中 ，
∵,∠ADB=∠DBC ，∠HOD=∠FOB ,HD=BF ,
∴HOD≌FOB ,
∴HO=OF ;故①正確；
∵SHDM∶SDMG=2∶1 ，SHDM∶SDMG=HM∶MG ,
∴HM∶MG =2∶1 ,
∴HM=2MG ;故③正確；
在RtAEH中，∠A＝90° ,AH=1 ,AE=2 ,
根據勾股定理EH= ，
∵S正方形EFGH=5 ,SHOG=S正方形EFGH= ,
又∵SHOM∶SOMG=HM∶MG=2∶1 ，
∴S△HOM= 。故④正確。
故答案為 ：D .

根據正方形的性質得出AD=BC =AB=CD=3 , ,∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC=90° ,∠ADB=∠DBC=45°，進而得出AE＝＝CG＝BF＝DH=2 ,從而判斷出AEH≌BFE≌CGF≌DHG ,根據全等三角形的性質得出EH=EF=FG=GH ,∠AHE＝∠BEF ,根據三角形的內角和及同角的余角相等，平角的定義得出∠HEF=90° ，進而判斷出四邊形EFGH是正方形 ，根據正方形的性質判斷出∠OFN=∠OBF=45° ,進而判斷出ONF∽OFB ,根據相似三角形的性質得出0F2=ON·OB ；
根據AAS判斷出HOD≌FOB ,根據全等三角形的性質得出HO=OF ；
根據角平分線的性質定理得出HDM與DMG如果分別以DH,DG為底的話，它們的高相等，從而得出SHDM∶SDMG=2∶1 又SHDM∶SDMG=HM∶MG ，HM∶MG =2∶1 ,HM=2MG ；
首先利用勾股定理得出EH的長，進而得出正方形EFGH的面積，根據正方形的性質得出SHOG=S正方形EFGH= ,又SHOM∶SOMG=HM∶MG=2∶1 從而得出答案。