Question

【題目】已知：如圖，∠EOF=60°，在射線OE上取一點A，使OA=10cm，在射線OF上取一點B，使OB=16cm．以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB．若點P在射線OF上，點Q在線段CA上，且CQ：OP=1：2．設CQ=a（a＞0）．

（1）連接PQ，當a=2時，求線段PQ的長度．

（2）若以點P、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求a的值．

（3）連接PQ，以PQ所在的直線為對稱軸，作點C關于直線PQ的對稱點C'，當點C′恰好落在平行四邊形OACB的邊上或者邊所在的直線上時，直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或16；（3）7或14-2或12．

【解析】

（1）如圖1，作輔助線，構建直角三角形，計算PM和MQ的長，利用勾股定理可得PQ的長；

（2）分兩種情況：

①當P在邊OB上時，如圖2，四邊形PBCQ是平行四邊形，

②當P在OB的延長線上時，如圖3，四邊形BPCQ是平行四邊形，

分別根據PB=CQ列方程可得結論；

（3）存在三種情況：①如圖4，當C'在邊AC上時，PQ⊥AC，過B作BD⊥AC于D時，則BD∥PQ，

②如圖5，當C'在邊OB上時，連接PC、CC'、C'Q，過C作CR⊥OP于R，

③如圖6，當C'在直線CB上時，連接PC、CC'、C'Q，

分別根據對稱性和直角三角形的性質列方程可得結論．

解：（1）如圖1，過A作AN⊥OB于N，過B作BD⊥AC于D，過Q作QM⊥OF于M，則AN∥BD∥MQ，

Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10，

∴ON=OA=5，AN=5，

同理得：CD=5，BD=5，

∵四邊形OACB是平行四邊形，

∴OB∥AC，

∴MQ=BD=5，

當a=2時，CQ=2，OP=4，

∴BM=DQ=5-2=3，

∴PM=PB+BM=16-4+3=15，

Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ===10（cm）；

（2）分兩種情況：

①當P在邊OB上時，如圖2，四邊形PBCQ是平行四邊形，

∴PB=CQ，

即16-2a=a，

a=；

②當P在OB的延長線上時，如圖3，四邊形BPCQ是平行四邊形，

∴PB=CQ

即2a-16=a，

a=16，此時Q與A重合，

綜上，a的值為或16；

（3）分三種情況：

①如圖4，當C'在邊AC上時，PQ⊥AC，過B作BD⊥AC于D時，則BD∥PQ，

∴PB=QD，

16-2a=a-5，

3a=21，

a=7；

②如圖5，當C'在邊OB上時，連接PC、CC'、C'Q，過C作CR⊥OP于R，

∵C與C'關于PQ對稱，

∴PQ是CC'的垂直平分線，

∴PC=PC'，CQ=C'Q，

∴∠PCC'=∠PC'C，

∵AC∥OP，

∴∠PC'C=∠QCC'，

∴∠QCC'=∠PCC'，

∵CC'⊥PQ，

∴PC=CQ=a，

∵OP=2a，

∴BP=2a-16，

Rt△BCR中，∠CBR=60°，

∴∠BCR=30°，

∵BC=10，

∴BR=5，CR=5，

∴PR=5-（2a-16）=21-2a，

由勾股定理得：，

a=14+2（舍）或14-2；

③如圖6，當C'在直線CB上時，連接PC、PC'、C'Q，

Rt△PBR中，∠PBR=60°，

∴∠BPR=30°，

∵PB=2a-16，

∴BR=BP=a-8，

同理得：CR=CQ=a，

∵BC=BR+CR，

∴a-8+a=10，a=12，

綜上，a的值為7或14-2或12．