Question

【題目】定義：將一個大于0的自然數，去掉其個位數字，再把剩下的數加上原數個位數字的4倍，如果得到的和能被13整除，則稱這個數是“一刀兩斷”數，如果和太大無法直接觀察出來，就再次重復這個過程繼續計算，例如，所以55263是“一刀兩斷”數．，所以3247不是“一刀兩斷”數．

（1）判斷5928是否為“一刀兩斷”數：_____（填是或否），并證明任意一個能被13整除的數是“一刀兩斷”數；

（2）對于一個“一刀兩斷”數均為正整數），規定．若的千位數字滿是，千位數字與十位數字相同，且能被65整除，求出所有滿足條件的四位數中，的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；證明見解析；（2）的最大值為45．

【解析】

（1）根據“一刀兩斷”數的定義，計算即可得，設任意一個能被13整除的位數前位數字為，個位數字為，則這個位數可表示為，根據定義進行推理即可證得；

（2）由m能被65整除，得出m是13的倍數也是5的倍數，可得d=0或5，分情況討論，分別求出滿足條件的所有的m的值，代入中計算即可判斷出．

（1），所以5928是“一刀兩斷”數

證明：設任意一個能被13整除的位數前位數字為，個位數字為，則這個位數可表示為（為正整數），

，

，

是“一刀兩斷”數；

∴任意一個能被13整除的數是“一刀兩斷”數，

故答案為：是；

（2）能被65整除，且a=c，

既能被13整除又能被5整除．

或．

當時，，

是13的倍數．

，

．

又，

．

．

當時，，

是13的倍數，

，

．

，

或或．

或或．

．

的最大值為45，

故答案為：45．