Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點. 為中點，連接交于點，且.

（1）求的長；

（2）若的面積為2，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）5.

【解析】

(1)由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對邊平行且相等，且對角線互相平分，根據兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，進而確定出三角形MND與三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長；

(2)由相似三角形相似比為1：2，得到S△MND：S△CND=1：4，可得到△MND面積為1，△MCD面積為3，由S平行四邊形ABCD=ADh，S△MCD=MDh=ADh，=4S△MCD，即可求得答案．

(1)∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，

∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，

∴△MND∽△CNB，∴，

∵M為AD中點，所以BN=2DN，

設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，

∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3,∴BD=2x=6；

(2)、∵△MND∽△CNB，且相似比為1：2，

∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，

∵△DCN的面積為2，∴△MND面積為1，∴△MCD面積為3，

設平行四邊形AD邊上的高為h，

∵S平行四邊形ABCD=ADh，S△MCD=MDh=ADh，

∴S平行四邊形ABCD=4S△MCD=12，∴S△ABD=6，

∴S四邊形ABNM= S△ABD- S△MND =6-1=5．