Question

【題目】在中， ， 記，點為射線上的動點，連接，將射線繞點順時針旋轉角后得到射線，過點作的垂線，與射線交于點，點關于點的對稱點為，連接.

（1）當為等邊三角形時，

① 依題意補全圖1；

②的長為________；

（2）如圖2，當，且時， 求證：；

（3）設， 當時，直接寫出的長. （用含的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②. （2）見解析；（3）.

【解析】

（1）①根據題意補全圖形即可；

②根據旋轉的性質和對稱的性質易證得，利用特殊角的三角函數值即可求得答案；

（2）作于，于，證得四邊形是矩形，求得，再證得，求得，再求得，即可證得結論.

（3）設則，證得，求得，再作DM⊥AB，PN⊥DQ，利用面積法求得，繼而求得，再證得，求得，根據得，即可求得答案.

（1）解：①補全圖形如圖所示：

②∵為等邊三角形，

∴，，

根據旋轉的性質和對稱的性質知：，，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，

∵為等邊三角形，，

∴，

在中，，

∴，

∴.

（2）作于，于，

∵，

∴，

由題意可知，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵，關于點對稱，

∴，，

∴，

∴為中點，

∴垂直平分，

∴；

（3）∵，AC⊥BD，

∴，

設則，

∵AC⊥BD，AP⊥AD，

∴∠ACB=∠PAD，

又∵∠ABC=∠PDA，

∴，

∴，

∴，

∴，

作DM⊥AB，PN⊥DQ，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

又∵∠AB=∠PDA，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴.