Question

【題目】如圖，對稱軸是的拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，

求拋物線的函數表達式；

若點是直線下方的拋物線上的動點，求的面積的最大值；

若點在拋物線對稱軸左側的拋物線上運動，過點作鈾于點，交直線于點，且，求點的坐標；

在對稱軸上是否存在一點，使的周長最小，若存在，請求出點的坐標和周長的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）△PBC面積的最大值為2；（3）P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；（4）存在，點M（﹣1，﹣），△AMC周長的最小值為．

【解析】

（1）先由拋物線的對稱性確定點B坐標，再利用待定系數法求解即可；

（2）先利用待定系數法求得直線BC的解析式，然后設出點P的橫坐標為t，則可用含t的代數式表示出PE的長，根據面積的和差可得關于t的二次函數，再根據二次函數的性質可得答案；

（3）先設D（m，0），然后用m的代數式表示出E點和P點坐標，由條件可得關于m的方程，解出m的值即可得解；

（4）要使周長最小，由于AC是定值，所以只要使MA+MC的值最小即可，由于點B是點A關于拋物線對稱軸的對稱點，則點M就是BC與拋物線對稱軸的交點，由于點M的橫坐標已知，則其縱坐標易得，再根據勾股定理求出AC+BC，即為周長的最小值．

解：（1）∵對稱軸為x=﹣1的拋物線與x軸交于A（2，0），B兩點，∴B（﹣4，0）．

設拋物線解析式是：y=a（x+4）（x﹣2），把C（0，﹣2）代入，得：a（0+4）（0﹣2）=﹣2，解得a=，

所以該拋物線解析式是：y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣2；

（2）設直線BC的解析式為：y=mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x﹣2，

作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設P（t，t2+t﹣2），則Q（t，﹣t﹣2），

∴PQ=﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）=﹣t2﹣t，∴S△PBC=S△PBQ+S△PCQ=PQ4=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2，

∴當t=﹣2時，△PBC面積有最大值，最大值為2；

（3）設D（m，0），∵DP∥y軸，∴E（m，﹣m﹣2），P（m，m2+m﹣2），

∵PE=OD，∴，

∴m2+3m=0或m2+5m=0，解得：m=﹣3，m=0（舍去）或m=﹣5，m=0（舍去），

∴P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；

（4）∵點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，∴當點M為直線BC與對稱軸的交點時，MA+MC的值最小，如圖2，此時△AMC的周長最小．

∵直線BC的解析式為y=﹣x﹣2x=﹣1，∴當x=﹣1時，y=﹣．

∴拋物線對稱軸上存在點M（﹣1，﹣）符合題意，此時△AMC周長的最小值為AC+BC=．