Question

【題目】如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：

①；

②；

③；

④若，則.

其中正確的結(jié)論是______________.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可判斷①；延長(zhǎng)CB，FE交于點(diǎn)G，根據(jù)ASA可證明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，進(jìn)一步即可求得AF、BC與CF的關(guān)系，S△CEF與S△EAF+S△CBE的關(guān)系，進(jìn)而可判斷②與③；由，結(jié)合已知和銳角三角函數(shù)的知識(shí)可得，進(jìn)一步即可根據(jù)AAS證明結(jié)論④；問(wèn)題即得解決．

解：∵，，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴，

，所以①正確；

延長(zhǎng)CB，FE交于點(diǎn)G，如圖，

在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG，

∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF，

∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②錯(cuò)誤；

∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正確；

若，則，，，

在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正確．

綜上所述，正確的結(jié)論是①③④．

故答案為：①③④．