Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，點M、N分別在線段AC、AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為__．

Answer 1

【答案】或

【解析】依據△DCM為直角三角形，需要分兩種情況進行討論：當∠CDM=90°時，△CDM是直角三角形；當∠CMD=90°時，△CDM是直角三角形，分別依據含30°角的直角三角形的性質以及等腰直角三角形的性質，即可得到折痕MN的長．

分兩種情況：

①如圖，當∠CDM=90°時，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，

∴∠C=30°，AB=AC=+2，

由折疊可得，∠MDN=∠A=60°，

∴∠BDN=30°，

∴BN=DN=AN，

∴BN=AB=，

∴AN=2BN=，

∵∠DNB=60°，

∴∠ANM=∠DNM=60°，

∴∠AMN=60°，

∴AN=MN=；

②如圖，當∠CMD=90°時，△CDM是直角三角形，

由題可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，

∴∠BDN=60°，∠BND=30°，

∴BD=DN=AN，BN=BD，

又∵AB=+2，

∴AN=2，BN=，

過N作NH⊥AM于H，則∠ANH=30°，

∴AH=AN=1，HN=，

由折疊可得，∠AMN=∠DMN=45°，

∴△MNH是等腰直角三角形，

∴HM=HN=，

∴MN=，

故答案為：或．