Question

【題目】在平面上，邊長為的正方形和短邊長為的矩形幾何中心重合，如圖①，當正方形和矩形都水平放置時，容易求出重疊面積．

甲、乙、丙三位同學分別給出了兩個圖形不同的重疊方式；

甲：矩形繞著幾何中心旋轉，從圖②到圖③的過程中，重疊面積大小不變．

乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續旋轉，矩形的兩條長邊與正方形的對角線平行時，此時的重疊面積大于圖③的重疊面積．

丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經過正方形的對角線，此時的重疊面積是個圖形中最小的．

下列說法正確的是（ ）

A.甲、乙、丙都對B.只有乙對C.只有甲不對D.甲、乙、丙都不對

Answer 1

【答案】C

【解析】

本題重疊部分面積需要結合圖形特點，利用對稱性質，通過假設未知數表示未知線段，利用面積公式求解，并根據線段范圍判別面積大小．

如圖一所示，設AI=x，BJ=y，則有x+y=AB-IJ=2-1=1，重疊部分四邊形JILK面積為2．

如圖二所示，設AI=x，BJ=y，

因為JM=HE=1，△JIM為直角三角形，斜邊JI大于直角邊JM，

故有：x+y＜1，重疊部分平行四邊形JILK面積為．

如圖三所示，設AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重疊部分四邊形JIDK面積為．

在由圖一到圖三的轉變過程中，x+y的取值逐漸減小，則重疊部分面積逐漸增大，故甲同學說法錯誤．

如圖四所示，設AI=AN=x（1＜x＜2），重疊部分多邊形BINDKM面積為．

當0＜x＜2時， ，所以圖四重疊部分的面積大于圖三重疊部分面積，乙同學說法正確．

如圖五所示，設AI=AN=x，所以重疊部分四邊形INDB面積為，

因為，所以重疊部分面積小于2，即小于圖一重疊面積．

綜上，圖一到圖四重疊部分面積逐漸增大，圖五面積小于圖一，故圖五面積最小，丙同學說法正確．

故答案為C選項．