Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是_________．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據有兩組對應角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據相似三角形對應邊成比例即可求得．

解：①∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵∠ADE＝∠B，

∴∠ADE＝∠C，

∴△ADE∽△ACD，故①正確；

②作AG⊥BC于G，

∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，

∴BG＝ABcosB，

∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，

∵BD＝6，

∴DC＝10，

∴AB＝DC，

在△ABD與△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；

③當∠AED＝90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC＝∠AED，

∵∠AED＝90°，

∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，

當∠CDE＝90°時，易△CDE∽△BAD，

∵∠CDE＝90°，

∴∠BAD＝90°，

∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，

∴cosB＝＝，

∴BD＝，故③錯誤；

④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，

設BD＝y，CE＝x，

∴，

∴，

整理得：y216y＋64＝6410x，

即（y8）2＝6410x，

∴0＜x≤6.4，故④正確；

故答案為：①②④．