Question

【題目】已知二次函數解析式為y＝mx2﹣2mx+m﹣，二次函數與x軸交于A、B兩點(B在A右側)，與y軸交于C點，二次函數頂點為M．已知∠OMB＝90°．

①求頂點坐標．

②求二次函數解析式．

③N為線段BM中點，在二次函數的對稱軸上是否存在一點P，使得∠PON＝60°，若存在求出點P坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】①頂點M(1,﹣)；②y；③存在，當點P(1,)或(1,﹣3)時，使得∠PON＝60°．

【解析】

①先求出對稱軸為x＝1，代入解析式可求頂點坐標；

②通過證明△MEO∽△BEM，可得，可求BE＝3，可得點B坐標，代入可求解析式；

③分兩種情況討論，由相似三角形的性質和兩點距離公式可求解．

①∵x＝﹣＝1，

∴y＝m﹣2m+m﹣＝﹣，

∴頂點M(1,﹣)；

②如圖1，過點M作ME⊥OB于E，

∵頂點M(1,﹣)

∴EM＝，OE＝1，

∵∠OMB＝90°．

∴∠OME+∠BME＝90°，

∵ME⊥OB，

∴∠OME+∠MOE＝90°，

∴∠MOE＝∠EMB，且∠MEO＝∠MEB＝90°，

∴△MEO∽△BEM，

∴，

∴BE＝3，

∴OB＝OE+BE＝4，

∴點B(4，0)，

∴0＝16m﹣8m+m﹣，

∴m＝，

∴二次函數解析式為：y；

③如圖2，若點P在x軸上方，

∵頂點M(1,﹣)

∴EM＝，OE＝1，

∴tan∠EOM＝＝，OM＝＝＝2，

∴∠EOM＝60°，

又∵∠OMB＝90°

∴MB=OMtan∠EOM＝2，

∵N為線段BM中點，

∴MN＝，

∵∠PON＝∠MOB＝60°，

∴∠POE＝∠OMN，且∠PEO＝∠OMN＝90°，

∴△OMN∽△OEP，

∴，

∴PE＝，

∴點P(1,)；

如圖3，若點P在x軸下方，在OP上截取OF＝ON，連接NF，

∵OM＝2，MN＝，

∴ON＝

∵ON＝OF，∠PON＝60°，

∴△ONF是等邊三角形，

∴OF＝ON＝FN＝，

∵N為線段BM中點，點B(4，0)，點M(1,﹣)

∴點N(,﹣)

設點F(a，b)

解得

∴點F(,)

∴直線OF的解析式為：y＝﹣3x，

∴當x＝1時，y＝﹣3，

∴點P(1,﹣3)

綜上所述：當點P(1,)或(1,﹣3)時，使得∠PON＝60°．