Question

【題目】△ABC中，D是BC的中點，點G在AD上（點G不與A重合），過點G的直線交AB于E，交射線AC于點F，設AE=xAB，AF=yAC（x，y≠0）．

（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，點G與D重合，∠BDE=30，求證：△AEF∽△DEA；

（2）如圖2，若點G與D重合，求證：x+y=2xy；

（3）如圖3，若AG=nGD，x=，y=，直接寫出n的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）n=3

【解析】

（1）先根據等邊三角形的性質和中線的性質得到∠BAD=30°，再求得∠F=∠BAD=30°即可證明；

（2）先證明△DEB≌△DHC，得到CH=BE，再證明△FCH∽△FAE，最后運用相似三角形的性質即可證明；

（3）先確定點E是AB的中點，然后根據DE是△ABC的中位線，得出DE=AC，DE//AC可得△DGE∽△AGP，最后運用相似三角形的性質求解即可．

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC，

∵AD是△ABC的中線，

∴AD平分∠BAC,即∠BAD=∠BAC=30°，

∵∠BDE=30°，

∴∠BED=90°，即EF⊥AB

∴∠F=90°-∠EAF=30°

∴∠F=∠BAD

∵∠AED=∠FEA=90°，

∴△AEF∽△DEA；

（2）如圖2，過C作CH//AB交EF于H，

∴∠B=∠DCH，∠BED=∠CHD，

∵AD是△ABC的中線

∴BD=CD，

∴△DEB≌△DHC（AAS），

∴CH=BE，

∵CH//AB，

∴△FCH∽△FAE，CF_CH，

∴

∴

∵，

∴，

∴x+y=2xy；

（3）如圖3，連接DE

∵y=

∴AF=AC,即AC =AF

同理：AE=AB

∴點E是AB的中點。

∵AD是△ABC的中線，即點D是BC的中點，

∴

∵DE//AC.

∴△DGE∽△AGP

∴，即AG=3DG

∴n=3．